Modul 1,
Thema 1
In Bearbeitung
Anwendung der Trigonometrie auf Kreisgeometrie
Gymitrainer 12. Juni 2025
Hallo liebe Schüler:innen! Haltet euch fest, heute geht es rund. Genauer gesagt, gehen wir auf eine Reise in die Welt der Kreise und machen uns dort mit unseren Freunden Sinus, Kosinus und Tangens bekannt. Zugegeben, die Namen klingen ein bisschen wie die Mitglieder einer Boyband, aber tatsächlich sind sie unsere Superstars in der Welt der Kreisgeometrie!
- Eintauchen in die Kreisgeometrie
Erinnert ihr euch an die gute alte Kreiszahl Pi? Genau, diese unendlich lange Zahl, die wir uns mit ungefähr 3.14 merken. Sie ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und somit unverzichtbar, wenn wir von Kreisen sprechen. Übrigens, für alle, die Pizza lieben (und wer tut das nicht?!), Pi ist auch das perfekte Verhältnis von Pizzarand zu Pizzadurchmesser. Ziemlich cool, oder? - Trigonometrie und Kreisgeometrie: Das Dreamteam
Nun, da wir im Kreisland sind, wie genau passen Sinus, Kosinus und Tangens dazu? Stellt euch vor, ihr steht im Mittelpunkt eines Kreises und habt eine Sehne, die ihr in jede Richtung ziehen könnt. Je nachdem, in welche Richtung ihr die Sehne zieht, entsteht ein Winkel. Und genau da kommt die Trigonometrie ins Spiel. Sinus, Kosinus und Tangens können uns helfen, diesen Winkel zu berechnen und auch die Länge der Sehne. - Die grosse Drei im Kreisland
Sinus, Kosinus und Tangens sind wie die Superkräfte, die euch durch die Kreisgeometrie führen. Sie sind die mathematischen Funktionen, die die Beziehung zwischen den Winkeln und den Seitenlängen in einem Dreieck beschreiben. In der Kreisgeometrie haben sie besondere Beziehungen, die wir “Kreisfunktionen” nennen. Sie beschreiben, wie wir uns im Kreis bewegen. - Anwendung von Sinus, Kosinus und Tangens
Nun, da wir wissen, wer Sinus, Kosinus und Tangens sind und was sie tun, wollen wir sie in Aktion sehen! Denkt an eine Karussellfahrt oder eine Runde auf dem Riesenrad. Jede Bewegung auf einer Kreisbahn kann mit diesen drei Superhelden der Mathematik beschrieben werden. Ziemlich beeindruckend, oder?
Für heute ist das genug von der “runden Sache”. Vergesst nicht, euer Mathe-Superhelden-Cape anzuziehen und euch auf den nächsten Ausflug in die Welt der Trigonometrie und Kreisgeometrie zu freuen! Bis zur nächsten Lektion!
Aufgaben
Aufgabenset zu Lektion 6: Die runde Sache mit der Trigonometrie
- Die Welt ist rund
Stell dir vor, du bist ein Flugzeug. Du fliegst im Kreis um die Erde auf konstantem Breitengrad. Was sind die Winkelgeschwindigkeit und die Bahngeschwindigkeit, wenn der Umfang der Erde 40.000 km ist und du 10 Stunden benötigst? - Ein Dreieck im Kreis
Du siehst ein rechtwinkliges Dreieck in einem Halbkreis. Der Durchmesser des Halbkreises ist 10 cm. Wie groß sind die Winkel im Dreieck, wenn die Hypotenuse gleich dem Durchmesser ist? - Ein Tag auf der Achterbahn
Eine Achterbahn fährt in einer kreisförmigen Schleife mit einem Durchmesser von 20 m. Berechne den Winkel, den ein Fahrgast sieht, wenn er auf halbem Weg durch die Schleife ist. - Pizza für alle!
Deine Pizza hat einen Durchmesser von 30 cm. Du schneidest sie in 8 gleich große Stücke. Wie groß ist der Winkel jedes Pizzastücks? - Sonnenuhr
Stelle dir vor, du baust eine Sonnenuhr. Der Schatten des Zeigers bewegt sich im Laufe des Tages um einen Kreis. Wie groß ist der Winkel zwischen dem Schatten um 10 Uhr morgens und 2 Uhr nachmittags? - Fahrradtour
Du fährst mit deinem Fahrrad einen Kreis mit einem Radius von 2 m. Wie viele Umdrehungen benötigst du, um eine Strecke von 400 m zurückzulegen? - Wasserfontäne
Eine kreisförmige Wasserfontäne hat einen Durchmesser von 3 m. In der Mitte spritzt das Wasser 2 m hoch. Mit welchem Winkel tritt das Wasser in Bezug auf den Rand der Fontäne aus? - Mond und Erde
Die Erde dreht sich einmal in 24 Stunden um ihre eigene Achse. Wie groß ist der Winkel, den die Erde in einer Stunde, einer Minute und einer Sekunde dreht? - Satellitenbahn
Ein Satellit umkreist die Erde auf einer kreisförmigen Bahn in 90 Minuten. Wie groß ist der Winkel, den der Satellit in 15 Minuten, 30 Minuten und 45 Minuten durchläuft? - Vollmond
Während einer totalen Mondfinsternis bewegt sich der Mond durch den Schatten der Erde. Wenn der Schatten der Erde in der Mondentfernung einen Durchmesser von 2,6 Erddurchmessern hat, wie groß ist der maximale Winkel, durch den der Mond sich bewegen kann, während er noch im Erdschatten ist?
Lösungen
Hier sind die Lösungen für das Aufgabenset zur Lektion 6:
- Die Welt ist rund
Der Umfang der Erde beträgt 40.000 km. Wenn das Flugzeug diesen in 10 Stunden durchfliegt, beträgt die Geschwindigkeit 40.000 km / 10 h = 4.000 km/h. Die Winkelgeschwindigkeit beträgt 360 Grad / 10 Stunden = 36 Grad pro Stunde. - Ein Dreieck im Kreis
Da die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Durchmesser des Halbkreises ist, handelt es sich um ein 45-45-90 Dreieck. Das bedeutet, die beiden anderen Winkel sind jeweils 45 Grad. - Ein Tag auf der Achterbahn
Da die Achterbahnfahrt eine komplette Umdrehung (360 Grad) macht und der Fahrgast nur auf halbem Weg ist, hat er 180 Grad des Kreises durchquert. - Pizza für alle!
Eine vollständige Pizza entspricht einem Winkel von 360 Grad. Wenn du sie in 8 Stücke teilst, beträgt der Winkel jedes Stücks 360 Grad / 8 = 45 Grad. - Sonnenuhr
Von 10 Uhr morgens bis 2 Uhr nachmittags vergehen 4 Stunden. Da es 24 Stunden für eine vollständige Umdrehung (360 Grad) braucht, beträgt der Winkel 4 Stunden * (360 Grad / 24 Stunden) = 60 Grad. - Fahrradtour
Der Umfang eines Kreises mit Radius r beträgt 2πr. Für den Fahrradreifen beträgt das 2π*2 m = 12,57 m. Du benötigst also 400 m / 12,57 m/Umdrehung = ca. 32 Umdrehungen. - Wasserfontäne
Hier haben wir ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe der Fontäne als gegenüberliegender Seite und dem Radius der Fontäne als angrenzender Seite. Der Tangens des Winkels θ ist gegenüberliegende Seite / angrenzende Seite = 2 m / 1,5 m = 1,33. Der Winkel θ beträgt also arctan(1,33) = 53 Grad. - Mond und Erde
Die Erde dreht sich in 24 Stunden einmal um ihre Achse, das sind 360 Grad. Das bedeutet, die Erde dreht sich in einer Stunde um 360 Grad / 24 = 15 Grad. In einer Minute dreht sich die Erde um 15 Grad / 60 = 0,25 Grad. In einer Sekunde dreht sich die Erde um 0,25 Grad / 60 = ca. 0,0042 Grad. - Satellitenbahn
Der Satellit umkreist die Erde in 90 Minuten, das entspricht 360 Grad. In 15 Minuten durchläuft der Satellit also 360 Grad / 6 = 60 Grad. In 30 Minuten durchläuft er das Doppelte, also 120 Grad, und in 45 Minuten das Dreifache, also 180 Grad. - Vollmond
Der Durchmesser des Erdschattens in der Mondentfernung beträgt 2,6 Erddurchmesser. Dies entspricht einem Radius von 1,3 Erddurchmessern. Der Winkel, den der Mond durchläuft, während er noch im Erdschatten ist, ist 2 * arctan(1/1,3) = ca. 82 Grad.
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