Wir sind bereit, den nächsten Schritt auf unserer Reise durch die Welt der Algebra zu machen. Heute werden wir uns mit den charmanten Helden (oder Schurken, je nachdem, wie man es sieht) der Algebra befassen: den linearen Gleichungen.
Was ist eine lineare Gleichung?
Also, was genau ist eine lineare Gleichung? Nun, sie ist eine Gleichung, die die Form
ax + b = 0
hat, wobei ‘a’ und ‘b’ reale Zahlen sind und ‘a’ nicht gleich null ist. Das “lineare” in linearen Gleichungen bedeutet, dass sie, wenn sie auf ein Koordinatensystem gezeichnet werden, eine gerade Linie ergeben. Die Variable ‘x’ ist in dieser Gleichung von der ersten Ordnung, was bedeutet, dass sie nicht quadriert, kubiert oder auf irgendeine andere Weise erhöht wird. Sie ist einfach sie selbst, ‘x’. Ein Beispiel für eine lineare Gleichung könnte sein:
2x + 3 = 0
Lösung linearer Gleichungen
Nun, da wir wissen, was lineare Gleichungen sind, lasst uns lernen, wie man sie löst. Euer Ziel ist es, den Wert von ‘x’ zu finden, der die Gleichung wahr macht. Wie macht man das? Folgt diesen einfachen Schritten:
- Vereinfachen:
Falls auf beiden Seiten der Gleichung Klammern oder Brüche sind, versucht, sie zu vereinfachen. Bringt die Gleichung auf eine einfache Form, ähnlich wieax + b = 0. - Isoliert ‘x’:
Um ‘x’ zu isolieren, müsst ihr erst ‘b’ auf die andere Seite der Gleichung bringen. Wie macht ihr das? Nun, ihr könnt ‘b’ von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren. Unsere Gleichung2x + 3 = 0 |-3
wird dann zu2x = -3 - Teilen: Als letztes teilt ihr beide Seiten der Gleichung durch ‘a’, um ‘x’ allein auf einer Seite zu bekommen. Wenn wir bei unserem Beispiel bleiben, teilen wir:
2x = -3| :2
und bekommenx = -3/2
Und voilà! Ihr habt eure lineare Gleichung gelöst! Ihr seid jetzt offiziell Lineare-Gleichungs-Löser, Gratulation! Aber vergesst nicht, die Übung macht den Meister. Also schnappt euch ein paar Gleichungen und versucht euch daran. Wer weiss, ihr könntet der nächste Sherlock Holmes der Algebra sein! Bis zum nächsten Mal, Mathe-Detektive!
Übungsset 1
Aufgabe 1: Löse die folgende Gleichung: x + 5 = 12
Aufgabe 2: Löse die folgende Gleichung: 3x - 2 = 10
Aufgabe 3: Löse die folgende Gleichung: -4x + 8 = 0
Aufgabe 4: Löse die folgende Gleichung: 5x - 20 = 15
Aufgabe 5: Löse die folgende Gleichung: 2x + 3 = 11
Aufgabe 6: Löse die folgende Gleichung: 7x - 2 = 26
Aufgabe 7: Löse die folgende Gleichung: 4x + 7 = 15
Aufgabe 8: Löse die folgende Gleichung: 6x - 3 = 9
Aufgabe 9: Löse die folgende Gleichung: -2x + 5 = 1
Aufgabe 10: Löse die folgende Gleichung: 10x - 5 = 45
Lösungen 1
Aufgabe 1: x + 5 = 12. Subtrahiere 5 von beiden Seiten: x = 12 - 5, daher x = 7.
Aufgabe 2: 3x - 2 = 10. Addiere 2 zu beiden Seiten: 3x = 10 + 2, daher 3x = 12. Teile nun beide Seiten durch 3: x = 12/3, daher x = 4.
Aufgabe 3: -4x + 8 = 0. Subtrahiere 8 von beiden Seiten: -4x = 0 - 8, daher -4x = -8. Teile nun beide Seiten durch -4: x = -8/-4, daher x = 2.
Aufgabe 4: 5x - 20 = 15. Addiere 20 zu beiden Seiten: 5x = 15 + 20, daher 5x = 35. Teile nun beide Seiten durch 5: x = 35/5, daher x = 7.
Aufgabe 5: 2x + 3 = 11. Subtrahiere 3 von beiden Seiten: 2x = 11 - 3, daher 2x = 8. Teile nun beide Seiten durch 2: x = 8/2, daher x = 4.
Aufgabe 6: 7x - 2 = 26. Addiere 2 zu beiden Seiten: 7x = 26 + 2, daher 7x = 28. Teile nun beide Seiten durch 7: x = 28/7, daher x = 4.
Aufgabe 7: 4x + 7 = 15. Subtrahiere 7 von beiden Seiten: 4x = 15 - 7, daher 4x = 8. Teile nun beide Seiten durch 4: x = 8/4, daher x = 2.
Aufgabe 8: 6x - 3 = 9. Addiere 3 zu beiden Seiten: 6x = 9 + 3, daher 6x = 12. Teile nun beide Seiten durch 6: x = 12/6, daher x = 2.
Aufgabe 9: -2x + 5 = 1. Subtrahiere 5 von beiden Seiten: -2x = 1 - 5, daher -2x = -4. Teile nun beide Seiten durch -2: x = -4/-2, daher x = 2.
Aufgabe 10: 10x - 5 = 45. Addiere 5 zu beiden Seiten: 10x = 45 + 5, daher 10x = 50. Teile nun beide Seiten durch 10: x = 50/10, daher x = 5.
Übungsset 2
Aufgabe 1: Löse die folgende Gleichung: 2(3x - 4) = 14
Aufgabe 2: Löse die folgende Gleichung: 3(2x + 5) - 2(4x - 3) = 1
Aufgabe 3: Löse die folgende Gleichung: 5x/2 + 3/4 = 7/8
Aufgabe 4: Löse die folgende Gleichung: 4x - 2(3x - 5) = 16
Aufgabe 5: Löse die folgende Gleichung: 7x/3 - 2/3 = 3
Aufgabe 6: Löse die folgende Gleichung: (4x - 3)/2 = 5
Aufgabe 7: Löse die folgende Gleichung: (5x + 2)/4 - (3x - 1)/2 = 1
Aufgabe 8: Löse die folgende Gleichung: 3(x - 2) - 2(x + 3) = 4
Aufgabe 9: Löse die folgende Gleichung: 2(3x - 2) - 5(2x + 3) = 7
Lösungen 2
Aufgabe 1: Zuerst multipliziere durch die Klammer: 6x - 8 = 14. Addiere 8 auf beiden Seiten: 6x = 14 + 8. Also 6x = 22. Teile durch 6 auf beiden Seiten: x = 22/6, daher x = 11/3.
Aufgabe 2: Erst multipliziere durch die Klammern: 6x + 15 - 8x + 6 = 1. Kombiniere ähnliche Terme: -2x + 21 = 1. Subtrahiere 21 von beiden Seiten: -2x = 1 - 21, daher -2x = -20. Teile nun beide Seiten durch -2: x = -20/-2, daher x = 10.
Aufgabe 3: Multipliziere alle Terme mit 8, um die Brüche loszuwerden: 20x + 6 = 7. Subtrahiere 6 von beiden Seiten: 20x = 7 - 6, daher 20x = 1. Teile nun beide Seiten durch 20: x = 1/20.
Aufgabe 4: Zuerst multipliziere durch die Klammer: 4x - 6x + 10 = 16. Kombiniere ähnliche Terme: -2x + 10 = 16. Subtrahiere 10 von beiden Seiten: -2x = 16 - 10, daher -2x = 6. Teile nun beide Seiten durch -2: x = 6/-2, daher x = -3.
Aufgabe 5: Multipliziere alle Terme mit 3, um die Brüche loszuwerden: 7x - 2 = 9. Addiere 2 auf beiden Seiten: 7x = 9 + 2. Also 7x = 11. Teile durch 7 auf beiden Seiten: x = 11/7.
Aufgabe 6: Multipliziere alle Terme mit 2, um den Bruch loszuwerden: 4x - 3 = 10. Addiere 3 auf beiden Seiten: 4x = 10 + 3. Also 4x = 13. Teile durch 4 auf beiden Seiten: x = 13/4.
Aufgabe 7: Multipliziere alle Terme mit 4, um die Brüche loszuwerden: 5x + 2 - 2(3x - 1) = 4. Vereinfachen Sie die Gleichung: 5x + 2 - 6x + 2 = 4. Kombiniere ähnliche Terme: -x + 4 = 4. Subtrahiere 4 von beiden Seiten: -x = 4 - 4, daher -x = 0. Teile nun beide Seiten durch -1: x = 0/-1, daher x = 0.
Aufgabe 8: Zuerst multipliziere durch die Klammern: 3x - 6 - 2x - 6 = 4. Kombiniere ähnliche Terme: x - 12 = 4. Addiere 12 auf beiden Seiten: x = 4 + 12, daher x = 16.
Aufgabe 9: Zuerst multipliziere durch die Klammern: 6x - 4 - 10x - 15 = 7. Kombiniere ähnliche Terme: -4x - 19 = 7. Addiere 19 auf beiden Seiten: -4x = 7 + 19, daher -4x = 26. Teile nun beide Seiten durch -4: x = 26/-4, daher x = -13/2.
Aufgabe 10: Zuerst multipliziere durch die Klammern: 4x - 8 = 4x + 6. Subtrahiere 4x von beiden Seiten: -8 = 6. Da diese Aussage nicht wahr ist, gibt es keine Lösung für diese Gleichung.
Übungen 3
Aufgabe 1: Löse die folgende Gleichung: 3x + 2(4x - 1) = 2(3x + 2) + 1
Aufgabe 2: Löse die folgende Gleichung: 5(2x + 3) - 3(4x - 2) = 2(2x - 3) + 5
Aufgabe 3: Löse die folgende Gleichung: (3x + 2)/4 + 1 = (2x - 1)/3 + 2
Aufgabe 4: Löse die folgende Gleichung: (4x - 3)/(2x + 1) = 2
Aufgabe 5: Löse die folgende Gleichung: (5x + 3)/(3x - 2) + 1 = 3
Aufgabe 6: Löse die folgende Gleichung: 4(x - 2)/(3x + 1) = 2(x - 1)/(2x - 3)
Aufgabe 7: Löse die folgende Gleichung: (3x + 5)/2 = (2x - 3)/3 + 1
Aufgabe 8: Löse die folgende Gleichung: 2(x + 3) - 3(x - 2) = 4(2x + 1) - 5
Aufgabe 9: Löse die folgende Gleichung: 3(2x - 3) + 2 = 4(x - 1) + 5
Aufgabe 10: Löse die folgende Gleichung: 4x - 2(3x - 4) = 2(2x + 1) - 3
Lösungen 3
Aufgabe 1: Zuerst multipliziere durch die Klammern: 3x + 8x - 2 = 6x + 4 + 1. Kombiniere ähnliche Terme: 11x - 2 = 6x + 5. Subtrahiere 6x von beiden Seiten: 5x - 2 = 5. Addiere 2 auf beiden Seiten: 5x = 5 + 2. Teile durch 5 auf beiden Seiten: x = 7/5.
Aufgabe 2: Multipliziere durch die Klammern: 10x + 15 - 12x + 6 = 4x - 6 + 5. Kombiniere ähnliche Terme: -2x + 21 = 4x - 1. Subtrahiere 4x von beiden Seiten und addiere 1: -6x = -22. Teile durch -6 auf beiden Seiten: x = 22/6 also x = 11/3.
Aufgabe 3: Multipliziere alle Terme mit 12 (kleinstes gemeinsames Vielfaches von 4 und 3), um die Brüche loszuwerden: 9x + 6 + 12 = 8x - 4 + 24. Kombiniere ähnliche Terme: x + 18 = 20. Subtrahiere 18 von beiden Seiten: x = 20 - 18 also x = 2.
Aufgabe 4: Um die Brüche loszuwerden, multipliziere beide Seiten mit (2x + 1): 4x - 3 = 2*(2x + 1). Dann 4x - 3 = 4x + 2. Subtrahiere 4x von beiden Seiten: -3 = 2, das ist nicht wahr, daher hat diese Gleichung keine Lösung.
Aufgabe 5: Um die Brüche loszuwerden, multipliziere beide Seiten mit (3x - 2): 5x + 3 + 3x - 2 = 3*(3x - 2). Dann 8x + 1 = 9x - 6. Subtrahiere 8x von beiden Seiten: 1 = x - 6. Addiere 6 auf beiden Seiten: x = 7.
Aufgabe 6: Um die Brüche loszuwerden, multipliziere beide Seiten mit (3x + 1)*(2x - 3): 4(x - 2)(2x - 3) = 2(x - 1)(3x + 1). Dies führt zu einer komplexen Gleichung, die eine weitere Vereinfachung und Lösung erfordert.
Aufgabe 7: Um die Brüche loszuwerden, multipliziere beide Seiten mit 6 (kleinstes gemeinsames Vielfaches von 2 und 3): 3(3x + 5) = 2(2x - 3) + 6. Kombiniere ähnliche Terme: 9x + 15 = 4x - 6 + 6. Subtrahiere 4x von beiden Seiten: 5x + 15 = 0. Subtrahiere 15 von beiden Seiten: 5x = -15. Teile durch 5 auf beiden Seiten: x = -3.
Aufgabe 8: Multipliziere durch die Klammern: 2x + 6 - 3x + 6 = 8x + 4 - 5. Kombiniere ähnliche Terme: -x + 12 = 8x - 1. Addiere x zu beiden Seiten und addiere 1: 12 = 9x - 1. Addiere 1 zu beiden Seiten und teile durch 9: x = 13/9.
Aufgabe 9: Multipliziere durch die Klammern: 6x - 9 + 2 = 4x - 4 + 5. Kombiniere ähnliche Terme: 6x - 7 = 4x + 1. Subtrahiere 4x von beiden Seiten: 2x - 7 = 1. Addiere 7 auf beiden Seiten: 2x = 8. Teile durch 2 auf beiden Seiten: x = 4.
Aufgabe 10: Multipliziere durch die Klammern: 4x - 6x + 8 = 4x + 2 - 3. Kombiniere ähnliche Terme: -2x + 8 = 4x - 1. Addiere 2x zu beiden Seiten und addiere 1: 8 = 6x - 1. Addiere 1 auf beiden Seiten und teile durch 6: x = 9/6 also x = 3/2.
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